数学解析入門３
数学解析入門１、２に続き、Banach空間とHilbert空間を中心に関数解析学の基礎的な部分を講義する。高級な理論は避け、ノルムや内積の扱いに習熟し、ユークリッド空間や簡単な関数空間の理解を深めることに主眼を置く。
必要な予備知識は、距離空間論と高校の数学IIBまでの内容である。距離空間論については、本教材の数学解析入門１と２の知識があれば理想的である。初歩的な行列の知識もあれば望ましいが、なくても問題ない。
講義内容
基礎編
第1講 上限と下限
Supremum-Infimum.pdf
PDFファイル 5.2 MB
第2講 距離空間
MetricSpaces.pdf
PDFファイル 6.5 MB
第3講 ベクトル空間
VectorSpaces.pdf
PDFファイル 5.6 MB
第4講 部分空間と線型写像
Videos－Subspaces and linear mappings
Subspaces,LinearMappings.pdf
PDFファイル 7.1 MB
第5講 ノルム空間
NormedSpaces.pdf
PDFファイル 6.5 MB
第6講 バナッハ空間
BanachSpaces.pdf
PDFファイル 6.2 MB
第7講 プレ・ヒルベルト空間
Pre-HilbertSpaces.pdf
PDFファイル 5.7 MB
第8講 内積、ノルム、ヒルベルト空間
Videos－Inner product, norms, and Hilbert spaces
InnerProduct,Norm,HilbertSpaces.pdf
PDFファイル 5.8 MB
第9講 角度、直交性、直積空間
Videos－Angles, orthogonality, and product spaces
Angle,Orthogonality,ProductSpaces.pdf
PDFファイル 6.5 MB
第10講 最短距離定理と距離射影
Videos－The nearest point theorem and metric projections
TheNearestPointTheorem,MetricProjections
PDFファイル 5.1 MB
第11講 直交直和分解
Videos－Orthogonal direct sum decomposition
OrthogonalDirectSumDecomposition.pdf
PDFファイル 5.3 MB
発展、応用編
第12講 集合の濃度 (予定)
Videos－
第13講 上極限と下極限 (予定)
Videos－
第14講 完備距離空間における不動点定理
この講は、縮小写像の不動点定理を勉強した後、すぐに学習可能である。
Videos－Fixed point theorems in complete metric spaces
FixedPointTheorems-CMSs.pdf
PDFファイル 5.5 MB
第15講 変分不等式問題
Videos－Variational inequality problems (VIP)
VariationalInequalityProblems(VIP).pdf
PDFファイル 5.6 MB
補論 (Appendix)
第1講 ノルム空間における級数論
第6講 (バナッハ空間) に続けて学習可能。
Videos－Series in normed spaces
SeriesinNormedSpaces.pdf
PDFファイル 3.5 MB
第2講 不動点近似法
第6講 (バナッハ空間) に続けて学習可能。
Videos－Fixed point approximation
FixedPointApproximation.pdf
PDFファイル 2.4 MB
第3講 縮小写像の不動点定理の別証明
Videos－Alternative proof for the Banach contraction principle
AlternativeProofforBCP.pdf
PDFファイル 4.0 MB
References
第14講
[1] Lj B. Ćirić, "A generalization of Banach’s contraction principle," Proceedings of the American Mathematical Society, 45(2) (1974): 267-273.
[2] R. Kannan, “Some Results on Fixed Points--II,” Proceedings of the American Mathematical Society, 76(4) (1969): 405–08.
[3] T. Zamfirescu, "Fix point theorems in metric spaces," Archiv der Mathmatik 23 (1972): 292-298.
補論 (第2講)
[1] V. Berinde, "A convergence theorem for Mann iteration in the class of Zamfirescu operators," Seria Matematica Informatica XLV 1 (2007): 33-41.
[2] V. Berinde, "On the convergence of the Ishikawa iteration in the class of quasi contractive operators," Acta Mathematica Universitatis Comenianae, 73.1 (2004): 119-126.
[3] S. Ishikawa, "Fixed points by a new iteration method," Proceedings of the American Mathematical Society 44(1) (1974): 147-150.
補論 (第3講)
[1] D. Wardowski, "Fixed points of a new type of contractive mappings in complete metric spaces," Fixed point theory and applications 2012(1) (2012): 1-6.
[2] D. Wardowski and N. Van Dung, "Fixed Points Of F-Weak Contractions On Complete Metric Spaces," Demonstratio Mathematica, 47(1) (2014), 146-155.
あとがきに代えて～今後の勉強について
本教材を学習後、さらに勉強を進めたい人にとって、次の4つの方向が考えられるだろう。
(1) 微分積分学、線形代数学の復習または勉強、
(2) 高度な位相空間論や関数解析学の勉強、
(3) 特定のトピックの深耕、
(4) 本教材の復習。
他分野（例えば理論経済学）の専攻で大学院進学を目指す大学生の場合は、大学院入学までに、(1)にある通り、大学レベルの微分積分学と線型代数学の教科書を学習しておくと、余裕をもって大学院での学習に取り組める。
数学者志望の学生を除いて、本教材の水準を超えてより高度な位相空間論や関数解析学を習得する必要にせまられることはあまりないだろう。もちろん、必要な方や興味のある方は、どんどん勉強してもらいたい。
(3)については、本ホームページ内に縮小写像の不動点定理を深めた内容を解説している。
本教材の学習経験が、学習者（動画の視聴者）にとって、プラスに作用することを願ってやまない。